Zaman hakkında düşündüğünüzde her gün birçok kez modüler aritmetik uygularsınız. Örneğin, üç saat süren bir tren yolculuğuna akşam 11.00’de çıkacağınızı hayal edin. Saat kaçta varırsınız? Saat 11+3=14’te değil, sabah saat 2’de varırsınız. Bunun nedeni 12 dilimlik bir saatte, saymaya başladığınızda 12’ye varıldığında başa dönmenizdir. (24 dilimlik bir saatte ise 24’e vardığınızda başa dönersiniz.) O halde 12 dilimlik bir saatte:
\( 4 + 9 = 1, \quad 7 + 7 = 2, \quad 5 + 12 = 5 \)
olur ve böyle devam eder. Saati eksilttiğinizde de aynı şeyi yaparsınız ama tersten:
\( 4 – 7 = 9, \quad 1 – 11 = 2,\quad 6 – 12 = 6. \)
Döngünüzü 12 veya 24 dışındaki rakamları kullanarak da oynayabilirsiniz. Örneğin, modüler aritmetikte modu 5 alırsanız:
\( 4 + 2 = 1, \quad 3 + 4 = 2,\quad 1 – 4 = 2, \quad 3 – 5 = 3\)
olur. Bu hesaplamaları eğer parmaklarınızla yapıyorsanız çözmesi biraz can sıkıcı olabilir. Ama şanslıyız ki genel bir yöntem var. Diyelim ki herhangi bir \( x \) sayısını mod \( p \)’de hesaplamak istiyorsunuz. \( p \) modunda \( x \) değerini bulmak için (\(p \) kadar dilimi olan bir saatteki \( x \)’in değeri), \( x \)’i \( p \) ile böldüğünüzde kalanı hesaplayın, bu sizin sonucunuz olacaktır.
Bu aynı zamanda \( x \) negatif olduğunda da işe yarar (hatırlatmakta fayda var; kalan her zaman pozitif tanımlanır). Örneğin \( p = 12 \) ve \( x= -3 \) için
\( -3 = (-1) \times 12 + 9 \)
olur, yani kalan 9 ‘dur. Bu nedenle 12 modunda -3, 9’a eşittir. (Modulüs fonksiyonları bazı bilgisayar dillerinde negatif sayılar için farklı değerler çalıştırdığı için biraz dikkatli olmanız gerekir.)
Eğer \( p \) doğal sayısı modunda aritmetik yapmak, yani iki sayıyı toplamak, çıkarmak veya çarpmak isterseniz, normal aritmetik işlemi yaparak sonucu bulun, buna \( x \) diyelim; daha sonra \( p \) modunda \( x \)’in değerini bulun.
Modüler aritmetikte oldukça döngüsel bir şeyler olduğu açık. Aritmetiğinizi tanımlayan \( p \) sayısı ne olursa olsun, \( p \) dilimlik saatte ileriye veya geriye doğru saydığımızı düşünebilirsiniz. Matematik diline çevirmek gerekirse, modüler aritmetikte mod \( p \), size mertebesi \( p \) olan bir döngüsel grup verir.
[BAA – Matematik/ Çevirmen: Duygu Özdemir]
Kaynak:
Plus Magazine, Maths in a minute: https://plus.maths.org/content/maths-minute-modular-arithmetic