Bir kutu el yazması ve üç defter. Yirminci yüzyılın başlarında dikkat çekici ama kısa hayat yaşamış Hint asıllı matematikçi Srinivasa Ramanujan’ın çalışmalarından geriye kalanlar bunlardan ibaret. Ancak matematiksel mirasın bu küçük zulası hala şaşırtmaya devam ediyor. Emory Üniversitesi'nden iki matematikçi, Ken Ono ve Sarah Trebat-Leder, onun sararmış sayfaları içerisinde büyüleyici bir keşif yaptılar. Bu keşif Ramanujan’ın zamanının tahmin edilenden çok daha ilerisinde olduğunu gösteriyor ve matematik tarihindeki bazı mihenk taşları arasında güzel bir bağlantı sağlıyor. Ve her şey, zararsız görünen 1729 numarasına kadar uzanıyor.
Ramanujan'ın hikayesi, trajik olduğu kadar ilham vericiydi. 1887'de Madras'a (şimdiki Chennai) yaklaşık 400 km mesafede küçük bir köyde doğan Ramanujan, genç yaşta matematiğe merak sardı ancak bu tutkusunu çoğunlukla yoksulluk içinde ve yalnız sürdürmek zorunda kaldı. Ta ki 1913 yılında Cambridge’teki ünlü sayı kuramcısı G.H. Hardy'ye bir mektup yazmaya karar verene kadar. Bu aceleci istenmeyen mektuplara alışkın olan Hardy, oldukça alışılmışın dışındaki mektubu doğrudan çöp kutusuna yollayabilirdi. Fakat öyle yapmadı. Yazarın dehasını fark eden Hardy, 1914'te geldiği Cambridge'e Ramanujan'ı davet etti. İlerleyen yıllarda Ramanujan, Hardy'nin onun yeteneğine olan inancının karşılığını fazlasıyla verdi, ancak kısmen İngiliz iklimi ve yemeklerinin de etkisiyle sağlık sorunları yaşadı. Ramanujan 1919'da Hindistan'a döndü, hala güçsüzdü ve bir sonraki yıl daha 32 yaşındayken hayatını kaybetti. Hardy daha sonrasında, Ramanujan ile birlikteki çalışmasını "hayatımdaki tek romantik hadise" olarak nitelendirdi.
Ramanujan'ın el yazması. 1729'un iki küpün toplamı olarak yazılışı sağ alt köşededir. Fermat'nın son teoremine karşı örnek olmaya yakın denklem onun biraz daha yukarısında görünüyor: \( \alpha^3 + \beta^3 = \gamma^3 + (-1)^n \).
Taksi Numarası
Romantizm, Hardy-Ramanujan öyküsünde merkezi bir rol oynayan 1729 sayısına da yansıdı. “Bir keresinde Putney'de hasta olduğu zaman (Ramanujan'ı) görmeye gittiğimi anımsıyorum,” diye yazdı Hardy. "1729 numaralı bir taksi ile yolculuk yaptım ve bu sayının bana oldukça sıkıcı geldiğini ve bunun olumsuz bir işaret olmadığını umduğumu söyledim. ‘Hayır’ diye yanıtladı, ‘Çok ilginç bir sayı; iki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde ifade edilebilen en küçük sayıdır.’ Burada Ramanujan’ın kastettiği
\( 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 \)
idi. Bu anekdot, matematik camiasında 1729 numarasına ün kazandırdı, ancak yakın zamana kadar insanlar Ramanujan'ın merak uyandıran şöhretinin onun beyninde taşıdığı rastgele olgulardan kaynaklandığına inanıyorlardı. Bunlar tıpkı bir tren gözcüsünün tren varış saatlerini hatırladığı gibi onun zihninde beliriyordu. Aynı zamanda, Ono ve Trebat-Leder'in keşfi bize bunun sadece buzdağının görünen kısmı olduğunu gösteriyor. Aslında Ramanujan, zamanının birkaç on yıl ötesinde ve bugün bile matematikçiler için ilginç sonuçlar doğuran bir teori geliştirmekle meşguldü. Sadece yayınlayacak kadar uzun yaşamamıştı.
Keşif, Ono ve matematikçi Andrew Granville'in Cambridge'teki Trinity Üniversitesi'nin Wren Kütüphanesi'nde tutulan Ramanujan'ın kutusundaki yaprakları karıştırırken geldi. “Kütüphanecinin masasının hemen yanında oturuyorduk, Ramanujan'ın kutusundan müsveddeleri sayfa sayfa çeviriyorduk,” diye anımsıyor Ono. "Üzerinde 1729'un küplerin toplamı olarak iki farklı temsili olan bu sayfayla karşılaştık. Ve o an gülmeye başladık."
G.H. Hardy (1877 - 1947).
Fermat’nın Son Teoremine Ramak Kala
Ono ve Granville, sayfada görünmese bile o ünlü sayıyı gördü. Ramanujan sadece denklemi yazmıştı \( 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 \). Fakat iki matematikçiyi ünlü sayıyla karşılaşmaktan daha çok sevindiren şey, aynı sayfada görünen kılık değiştirmiş başka bir denklemdi. Ramanujan'ın, 17. yüzyılda kötü şöhretiyle tanınan ve 1990'larda çözümü matematik dünyasında büyük sansasyon yaratan bir problem üzerinde çalıştığını, bu denklem açıkça gösterdi. Bu problem Fermat'nın son teoremiydi.
Sayı kuramındaki diğer problemler gibi bu problemi anlamak da kolaydır. Pisagor teoremi, \(x, y \) ve \(z\) kenar uzunluklarına sahip bir dik üçgen varsa ve en uzun kenar bu üçgenin hipotenüsü \(z \) ise, bu üç uzunluğun aşağıdaki denklemi sağlayacağını söyler.
\( x^2 + y^2 = z^2 \)
Pozitif tam sayılar arasında bu eşitliği sağlayan sonsuz \(x, y, z \) üçlüsü vardır. Örneğin, \(x =3, y =4, z=5 \). Doğal olarak akla, aşağıdaki denklemi sağlayan pozitif tamsayıları bulup bulamayacağımız sorusu gelir:
\(x^3 + y^3 = z^3 \)
veya
\(x^4 + y^4 = z^4 \)
ya da
\(x^5 + y^5 = z^5 \)
ve böyle devam eder.
1637'de Fransız matematikçi Pierre de Fermat, kendinden emin bir şekilde bu sorunun cevabının hayır olduğunu öne sürdü. Eğer \(n\), \(2\)’den büyük bir sayı ise \(x^n + y^n = z^n \) denklemini sağlayan \(x, y\) ve \(z\) gibi pozitif tam sayılar yoktur.
Fermat, bir kitabındaki sayfa kenarına "sayfanın kenarındaki boşluğun, keşfettiği fevkalade kanıtı yazmak için fazla dar olduğunu" karalamıştı. Doğal olarak bu iddia, 350 yıldan fazla bir süre boyunca, bu "fevkalade kanıtı" bulmaya çalışırken çıldıran matematikçilerin bağımlılığı haline gelmişti.
Ramanujan'ın el yazısındaki denklem, \( n=3 \) için, Fermat'nın \(x, y \)\(z \) üçlülerinin ailesini (aslında sonsuz ailesini) bulduğunu gösteriyor. Bunlar sadece eksi bir ya da artı bir ile ayrılıyorlar.
\(x^3 + y^3 = z^3 +1 \) ya da \(x^3 + y^3 = z^3 - 1 \).
Denklemi karşılayan herhangi bir pozitif tam sayı üçlüsü Fermat'nın böyle üç pozitif tam sayılar bulunamadığı iddiasını yanlış hale getirecekti. Ramanujan, Fermat'ın son teoreminin karşı örneklerinin (counter-examples) ne olacağına dair sahip sonsuz aileyi neredeyse tespit etmişti.
Ono, "Hiçbirimizin Ramanujan'ın Fermat'nın son teoremiyle alakalı bir şey düşündüğüne dair fikri yoktu." diyor. "Ama burada, karşımızda duran bir sayfada, ikisi 1729 ile ilişkili olan denklemler için sonsuz sayıda karşı örneğe yaklaşmıştı. Afallamıştık." Bugün bile, Fermat'nın iddiasından yaklaşık 400 yıl sonra ve çözülmesinden 25 yıl sonra bile, sadece bir avuç matematikçi Ramanujan ailesinin ortaya çıkardıklarını biliyor. “Ben bir Ramanujan bilginiyim ve bunun farkında değildim,” diyor Ono. "Esasında, kimse bilmiyordu."
Eliptik Eğriler ve \(K3\)’e Tırmanış
Ama bu kadarla kalmadı. Ono ve lisansüstü öğrencisi Sarah Trebat-Leder daha fazla araştırma yapmaya karar verdiklerinde, Ramanujan'ın çalışmalarındaki diğer sayfalara göz gezdirirken, insanlığın tahmin ettiği her şeyin ötesine geçen sofistike bir matematiksel teori geliştirdiğini gördüler. "Sarah ve ben Ramanujan'ın gerçekten neler yaptığını daha derinlemesine düşünerek zaman harcadık ve daha herkes varlığından bihaberken, ortaya çıkışının 30 veya 40 yıl öncesinde, matematiğin bir alanını öngördüğünü keşfettik. Bu tam olarak bizi heyecanlandıran şeydi."
Bu keşif \(x^3 + y^3 = z^3 \) gibi denklemlerde ortaya çıkıyor. Ve bundan birkaç küçük matematiksel adım sonrasında aşağıdaki gibi denklemleri görmek kolaydır:
\(y^2 = x^3 + ax + b \)
Buradaki \(a \) ve \(b \) sayıları sabit sayılardır. Verilmiş \(a \) ve \(b \) değerleri için bir koordinat sisteminde yukarıdaki denklemi karşılayan \( (x,y) \) noktalarını çizerseniz, eliptik eğri adı verilen bir şekil elde edersiniz. Eliptik eğriler, 1990'larda matematikçi Andrew Wiles’ın Fermat'nın son teoremini nihayete erdiren kanıtında önemli bir rol oynadı. Ono ve Trebat-Leder, Ramanujan'ın eliptik eğriler teorisini incelediğini fark ettiler. Ramanujan, Wiles'ın izlediği yoldan yürümek yerine eliptik eğrilerden daha çetrefilli bir nesne keşfetmişti. Bu nesneler yaklaşık kırk yıl sonra yeniden keşfedildiğinde, Ernst Kummer, Erich Kähler ve Kunihiko Kodaira'nın katkılarıyla K2 dağı (Karakum Dağı – Dağcılar arasında zorluk bakımından tırmanması en zor dağ olarak görülüyor.) kadar tırmanması zor olduğu için \(K3 \) yüzeyleri adı ile anılmaya başladı.
Ramanujan'ın fazlasıyla karmaşık olan \(K3\) yüzeyini keşfedebilme ve anlayabilme ihtimali bile dikkate değerdi. Öyle ki yüzey üzerindeki çalışmaları, eliptik eğrilerle bağlanarak Ono ve Trebat-Leder'e beklenmeyen bir hediye verdi. Diğer tüm denklemlerde olduğu gibi, herhangi bir eliptik eğri denklemi de
\(y^2 = x^3 + ax + b \)
çözümlerinin (bu denklemi doğrulayan \( (x,y) \) ikilerinin) eksikliğini haykırır. Fermat'nın ruhuyla, tüm tam sayı çözümlerini arayabilirsiniz, ama sayı kuramcıları genellikle kendilerine biraz daha fazla hareket alanı tanırlar. Rasyonel sayı çözümlerini, yani kesir olarak yazılabilen sayıları da ararlar.
2014 yılında, matematikçi Manjul Bhargava bu bağlamda büyük mesafeler kat ettiği için matematikçiler tarafından fazlaca saygı duyulan Fields Madalyası'nı kazandı. Bhargava, çoğu eliptik eğrinin özellikle iki basit sınıftan birinde yer aldığını gösterdi. Ya çok az sayıda rasyonel sayı çözümü vardır ya da sonsuz sayıdaki çözümlerin hepsini tek bir rasyonel sayı çözümünden üreten bir formül vardır. Tüm eliptik eğrileri sistematik bir şekilde incelerseniz, örneğin denklemdeki \(a\) ve \(b\) sabit sayılarının büyüklüğüne göre sıraladığınızda, büyük bir olasılıkla bu “basit” eliptik eğriler ile karşılaşırsınız.
\(-2\) ile \(1\) arasındaki \(a\) ve \(-1\) ile \(2\) arasında \(b\) tam sayı değerlerine karşılık gelen eliptik eğriler. Sadece \(a = b = 0\) için eliptik eğri olarak nitelendirilmez çünkü keskin bir köşeye sahiptir.
Eliptik eğrilerin hepsini üretmek için iki veya üç çözüm gerektiren daha karmaşık bir eliptik eğri bulma olasılığı sıfırdır. Bu tür eliptik eğrileri sistematik olarak aramak, iğnenin her zaman elinden kaçmasını garantileyecek şekilde samanlıkta bir iğneyi aramak gibidir. Yani böyle daha karmaşık eliptik eğrilere ulaşmak için başka bir yönteme ihtiyacınız var.
Ve bu tam da Ramanujan'ın ortaya attığı fikirdi. \(K3\) yüzeyindeki çalışmaları, Ono ve Trebat-Leder'e sadece bir değil, diğer tüm çözümleri üretmek için iki veya üç çözüm gerektiren sonsuz sayıda eliptik eğri üretmek için bir yöntem sağladı. Bulunan ilk yöntem değildi, ancak çaba da gerektirmiyordu. Ono, "Dünya rekorunu bu tür eliptik eğrileri bulma sorusuna bağladık, ancak bize ağır gelen bir işin altına girmemiştik." diyor ve şöyle devam ediyor: "Ramanujan'ın ne yaptığını fark etmek dışında hiçbir şey yapmadık."
Fizik ve Ek Boyutlar
Bu hikâyede başka ilginç bir dönüm noktası daha var. Ramanujan sayı teorisinin soyut alemlerinde çalışırken, gerçek dünya fenomenlerini inceleyen fizikçiler kuantum mekaniği teorisini geliştirmeye başladılar. Kendi başına bir zafer olmasına rağmen, sonuçta ortaya çıkan kuantum fiziğinin mevcut fizik teorileriyle telafi edilemez bir şekilde çatıştığı ortaya çıktı. Bu kapatılmayan çatlak bizlere yirmi birinci yüzyıl fiziğinin en büyük problemini sunuyor. 1960'larda başlayan, modern fiziğin farklı kollarını birleştiren "her şeyin teorisi" için en iyi aday olan sicim teorisinin gelişmesi, durumu kurtarmaya yönelik bir girişimdi.
Sicim teorisinin ilginç bir tahmini, içinde yaşadığımız dünyanın görebildiğimiz üç uzaysal boyuttan daha fazlasından oluşmasıdır. Bu ek boyutlar, göremediklerimiz, algılayamayacağımız kadar çok çok küçük alanlarda sıkıca toplanıyor. Teori, bu çok küçük alanların belirli bir geometrik yapıya sahip olduğunu söylüyor. Calabi-Yau çokkatlıları (manifoldları) adı verilen bir geometrik nesnelerin bir sınıfı bu tarife uyuyor. Ve Calabi-Yau çokkatlılarının en basit sınıflarından biri, evet tahmin ettiğiniz gibi, ilk olarak Ramanujan'ın keşfettiği \(K3\) yüzeylerinden geliyor.
Elbette Ramanujan bu gelişmeyi asla hayal edemezdi. "O formüllerin ustasıydı ve bence amacı Fermat'nın son teoremini yanlışlayacak tüm olası örnekleri inşa etmekti." diyor Ono. "Bu yüzden, inşa ettiği makinenin, yazdığı formüllerin, gelecekte herkes için yararlı olacağını bilmeden bu olası karşıt örnekleri bulmak için bir teori geliştirdi."
Ono, Ramanujan'ın el yazmalarının daha fazla hazine gizleme ihtimalini göz ardı edemiyor. "Otuz yıldır 1729'dan haberdarım. Çok güzel, romantik bir sayı. Ramanujan bir dahiydi ve hala yaratıcılığının, formüllerini ne derece etkilediğini öğreniyoruz. Çalışmaları Trinity Üniversitesi'nde tutulan bir kutu ve Madras Üniversitesi'ndeki üç defter kadar. Çok fazla değil. Hala aklında ne olduğunu çözüyor olmamız çok çılgınca. Bu ne zaman sona erecek?"
Kaynak:
Plus Magazine, Marianne Freiberger, Ramanujan Suprises Again, https://plus.maths.org/content/ramanujan